如何因式分解三项式

时间：2020-06-15 13:16 阅读：次

代数中，三项式是三个项组成的多项式，最常见的形式是二次三项式 (ax+bx+c)。不过不是所有三项式都是二次的。有的还有更高次数。多项式在数学和科学中都很有用，学好因式分解多项式的方法，可以在很多领域中得心应手。下面介绍因式分解三项式的技巧如何因式分解三项式的方法。有很多特殊三项式可以因式分解，但如果碰到分解不了的，要学会用通常方法来分解高次三项式。

如何因式分解三项式的方法

1把三项中的公因子提出来。

如果三个项系数都有相同因数，提出来。或者含有共同变量，也提出来。

方法1二次三项式

1把三项式参数按从大到小次数排列。

参数是多项式中的变量，正常顺序就是按次数大到小来排列的。因此 5 + x + 6x 要被整理成 x + 6x + 5
因此而三项式3x + 18x + 15 中每个项都是3的倍数，3 提出来得到3(x + 6x + 5).
在- x - 2x - 1 每个项都含有 -1 ，提出来变成 (-1)(x + 2x + 1) ，或者更一般的形式 -( x + 2x + 1)
三项式 3x y + 3xy - 60y 中每项都有 3y ，提出变成 3y(x + x - 20)。
2把三项式分解成两个二项式因式。

二项式是含有两个组成部分的mx +n形式的多项式， m、n代表常数。两个二项式中的首项应该是三次项(ax)的因数，二项式的第二项应该是三项式中常数(c)的因数。把第一个多项式首项和第二个多项式的次项相乘，然后把第二个多项式首项和第一个多项式的次项相乘就得到三次多项式的(bx)。
因此对于x + 6x + 5 ，每个二项式因式的首项都是x ，因为x乘以x是 x。因式的次项应该是5 和 1，因为5乘以1等于5。分解出来的二项式因式应该是(x + 5)(x + 1)，可以把第一个因式的 x 乘以后一个因式的1，得到x，然后把后一个因式x乘以前一个5，得到5x, 加起来得6x，即三项式的中间项。
如果常数项有好几个不同的可能因数，那么需要一一解出正确的二项式因式。比如 x + x - 20，每个二项式里的第一项应该都是x，因为这里的a=1。但是c的绝对值 20可以被分解成20 乘以 1、 10 乘以 2、 5 乘以 4。看b的值，b= 1，因此所有二项式的第二项加起来一定是1。又因为c是负数 - 20，其中一个第二项一定是负数。因为 5 - 4 (或 5 加 - 4) 等于 1，正确的答案是(x + 5)(x - 4)

方法2特殊情况下分解出正确的二项式因式

1检查三项式第一或第三项是否是质数。

质数是只能被自己或1整除的数，这样因数就少很多了。在这个例子 x + 6x + 5 中 5 是质数，因此只有一对解。 (x + 5)(x + 1)
2看看三项式是否是完全平方式。

完全平方式是一个项自己乘自己得到的式子。比如：1 * 1 = 1、 2 * 2 = 4、 3 * 3 = 9 等等。如果ax + bx + c 是完全平方式， a 和 c一定是完全平方，b一定是 a 和 c的根的和的两倍。
三项式x + 6x + 9 是完全平方式，即(x + 3)(x + 3)。 a 是 1 ，即1 的平方。 c 是 9，是3 的平方，b 是 6 ，即a 、 c 开根号的和的二倍，即 2(1 * 3)
三项式4x + 12x + 9 可以因式分解为(2x + 3)(2x + 3)，也是完全平方式。 a 是 4，或2 平方，c 是 9，3 的平方，b是12，a 和c 开根号的和的两倍， 2(2 * 3)
注意如果是完全平方式，这个三项式的a、c一定是正数。若都是负数，提出-1，把a、b、c的符号都变过来，然后再计算。
3看看“三项式”是否实际上是一个可因式分解的二项式。

有的二项式也可以分解为两个二项式，形式为ax - c，a 和 c 都是完全平方数。或者可以看成b等于0的三项式。这些二项式可以分解为两个二项式，其中首项都相同，次项符号不同，绝对值相同。
如4 x - 9 因式分解为(2x + 3)(2x - 3) 。因为2 是4 的平方根， 3是9的平方根。因为正数乘以负数等于负数，因此一个3是正的，一个是负的。得到 4x + 6x - 6x - 9 或者简单点， 4x - 9。

方法3含有隐藏变量的二次方程式

有的三项式看起来是高次的，但是实际上是二次的。看出来了以后，可以以如下方法解决。

1检查每项变量。

如 x - 7x + 12 看起来有6次，但是用个代入法 u=x得到 u - 7u + 12。这个也适用于多变量多项式。比如 xy - 7xy + 12y 得到xy(u - 7u + 12) ，这里用的替换是 u = x/y。这种替代法在任何第二项的次数都是首项的一半的时候都可以用。
2如果可用该替代法，将替代后简单点的多项式因式分解，这里得到 u - 7u + 12 = (u-3)(u-4)

3把 x再替代回去，得到 x - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)，如果可能，或者需要的话，继续因式分解。

方法4艾森斯坦判别法

这个法则可以用在含有任何项数的多项式中，但是在三项式中尤其好用，因为很多系数都是0。这种方法不是用来因式分解的，但是可以判别是否可以因式分解。

1把所有第二项和常数项的质数公因数 p找出。
2每个数p都检查以下情况是否符合。
常数项一定是p的倍数但不是 p的倍数
首项一定不是p的倍数
3如果存在p，能整除除了首项以外的所有项系数，而且只能整除常数项一次，那么这个多项式不能因式分解。

可以快速用这种方法判定14x + 45x + 51 是无法分解的，因为45 、 51可以整除3，但是不能被14 整除，9也不能被51整除