怎么对二项式进行因式分解
时间：2021-12-15 12:04
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在代数中，二项式是以加号或减号相连的二项表达式，例如
ax + b
。第一项必定包含一个变量，而第二项则不一定。对二项式做因式分解指的是将二项式分解成更简单的项，这些项相乘后可以得到该二项式，因式分解可以简化二项式，为进一步使用做好准备。
方法1方法1 的 3:对二项式进行因式分解
1回顾因数分解的基础知识。
因数分解是将一个大数分解成几个最简单的可除部分。每个部分被称为“因数”。例如，数字6可以被分解为四个不同的数字：1、2、3和6。因此，6的因数有1、2、3、6。
- 32的因数有1、2、4、8、16、32。
- 数字“1”和你分解的数字本身必定是因数。因此，像3这样的小数字的因数只有1和3。
- 因数只包括可以整除的数字，即“整数”。你可以用3.564或21.4952去除32，但它们不构成32的因数，仅仅是一个小数。
2将二项式的各项放到合适位置，使之便于一目了然。
二项式是两个数字在做加法或减法，其中至少一个数字含有一个变量。有时，变量会有指数，如
x
或
5y
。分解二项式时，你可以先按变量升序来重新排列方程式，即将指数最大的项放到最后。例如：
3t + 6
→
6 + 3t
3x + 9x
→
9x + 3x
x - 2
→
-2 + x
- 注意，2前面的负号在重新排序后得到了保留。如果项是减数，重新排序时请保留前面的负号。
3找到两项的最大公因数。
这意味着你要找到能同时整除二项式两项的最大数字。如果觉得很难，只要分别将两个数字因数分解，然后找到最大的匹配数字即可。例如：
练习题：
3t + 6
。- 3的因数：1，3
- 6的因数：1, 2, 3, 6。
最大公因数为3。
4两项分别除以最大公因数。
知道公因数后，你需要将它从各项中约去。但是请注意，你要做的只是将各项分解，对它们做简单的除法。如果你找到的最大公因数是正确的，那么两项都会有这个因数：
练习题：
3t + 6
。
求最大公因数：
3
从两项中约去因数：
3t/3 + 6/3 = t + 2
5最后，用因数乘以所得表达式。
在上一道练习题中，你约去3之后，得到
t + 2
。但是，约去3只是为了简化问题，并不是说问题与3不再有任何关系。你不能让一个数字凭空消失，它必须重新出现在表达式中！最后，用因数乘以表达式。例如：
练习题：
3t + 6
求最大公因数：
3
从两项中约去因数：
3t/3 + 6/3 = t + 2
用因数乘以新表达式：
3(t + 2)
因式分解后的最终答案：3(t + 2)
6用因数乘以括号内的各项，看结果是否等于初始方程式。
如果每一步都正确，那么检查结果是否正确就很简单了。用因数乘以括号内的各项即可。如果所得结果与初始的未分解二项式一样，说明因式分解是正确的。写下分解表达式
12t + 18
的全过程，来练习因式分解：
重新排列两项的顺序：
18 + 12t
找出最大公因数：
6
从两项中约去因数：
18t/6 + 12t/6 = 3 + 2t
用因数乘以新表达式：
6(3 + 2t)
检查答案：
(6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t
方法2方法2 的 3:分解二项式来解方程
1使用因式分解来简化方程，使之更容易求解。
解含有二项式的方程，尤其是含有复杂二项式的方程时，可能看上去没办法找到所有项的公因数。例如，试着解
{{{1}}}
。对于这类方程，尤其是带指数的方程，一种解法是先做因式分解。
练习题：
5y - 2y = -3y
- 记住，二项式必须只包含两项。如果项数多于二，你就必须用到解多项式的相关知识。
2做加法或减法，让方程式的一边等于零。
这种方法完全依赖于数学中最基本的事实之一：任何数乘以零都等于零。所以，如果方程式等于零，那么因式项之一必定等于零。首先，做加减法让一边等于零。
练习题：
5y - 2y = -3y
使等式等于零：
5y - 2y + 3y = -3y + 3y
8y - 2y = 0
3像平时那样，对方程式不为零的那一边做因式分解。
在这一步中，你可以当方程式的另一边不存在。找到最大公因式，用它去除方程式，得到分解后的表达式。
练习题：
5y - 2y = -3y
使等式等于零：
8y - 2y = 0
因式分解：
2y(4 - y) = 0
4设括号内和括号外的因式等于零。
练习题中，表达式可写为2y乘以4 - y，结果等于零。由于任何数乘以零都等于零，这意味着2y或4-y等于0。生成两个单独的方程，求出使它们等于零的y值。
练习题：
5y - 2y = -3y
使等式等于零：
8y - 2y + 3y = 0
因式分解：
2y(4 - y) = 0
设两个因式等于0：
2y = 0
4 - y = 0
5解这两个等于零的方程，得到最终答案。
答案可能有一个或多个。记住，只要一个因式等于零就能让方程成立，所以同一个方程式的解可能有几个不同的y值。解练习题的最后怎么对二项式进行因式分解的方法：
2y = 0
2y/2 = 0/2
y = 0
4 - y = 0
4 - y + y = 0 + y
y = 4
6将答案代入到原方程式中，看是否正确。
如果你得到的y值是正确的，那么它们应该能使方程成立。如下文所示，验算非常简单，将每个值代入到变量中即可。由于答案是y = 0和y = 4：
5(0) - 2(0) = -3(0)
0 + 0 = 0
0 = 0
所以，这个答案是正确的
5(4) - 2(4) = -3(4)
20 - 32 = -12
-12 = -12
所以，这个答案也是正确的。
方法3方法3 的 3:处理更复杂的问题
1记住，变量，甚至是带指数的变量，都算作因式。
记住，因式分解是找出能够整除方程式的因式。表达式
x
是
x*x*x*x
的另一种写法。这意味着如果其他项也含有x，那么你可以使用x来进行因式分解。你应该将变量视为普通的数字。例如：
- 由于两项都包含t，所以
2t + t
可被因式分解，分解后的答案等于
t(2 + t)
。
- 你甚至可以一次提取多个变量。例如，在
x + x
中，两项都包含相同的
x
。你可以将之分解为
x(1 + x
。
2合并同类项，将未简化的二项式转化为二项式形式。
以表达式
6 + 2x + 14 + 3x
为例，它看上去有四项，但细看后你会发现，实际上只有两项。你可以合并同类项，由于6和14都没有变量，而2x和3x拥有相同的变量，所以它们都可以互相合并。之后的因式分解就很简单了：
初始问题：
6 + 2x + 14 + 3x
重新排列各项：
2x + 3x + 14 + 6
合并同类项：
5x + 20
求最大公因数：
5(x) + 5(4)
因式分解：
5(x+4)
3识别特殊的“完全平方差”。
完全平方数指的是平方根是一个整数的数字，例如
9
等于
3 * 3
，
x
等于
x * x
，甚至
144t
也是完全平方数，因为它等于
12t * 12t
。如果二项式是两个完全平方数（式）的减法问题，如
a - b
，那么你只需要将它们代入到以下公式即可：
完全平方差公式：
a - b = (a + b)(a - b)
练习题：
4x - 9
求平方根
√4x = 2x
√9 = 3
将平方代入到公式中： 4x - 9 = (2x + 3)(2x - 3)
4学会分解“完全立方差公式”。
和完全平方一样，两个立方项相减时，也有一个简单的公式。例如，
a - b
。和之前一样，你只用求出各项的立方根，然后将它们代入到公式中即可：
完全立方差公式：
a - b = (a - b)(a + ab + b)
练习题：
8x - 27
求立方根：
∛8x = 2x
∛27 = 3
将立方代入到公式中： 8x - 27 = (2x - 3)(4x + 6x + 9)
5知道完美立方和也有一个公式。
和完美平方差不同，你可以用一个简单的公式，轻松地分解
a + b
这样的立方和表达式。它和立方差公式几乎相同，只是加减号略有区别。这个公式写出来和其他两个公式一样简单，你需要认出题目中的两个立方项，然后套用公式就可以了：
完全立方和公式：
a + b = (a + b)(a - ab + b)
练习题：
8x - 27
求立方根：
∛8x = 2x
∛27 = 3
将立方代入到公式中： 8x - 27 = (2x + 3)(4x - 6x + 9)
注意事项
1回顾因数分解的基础知识。 因数分解是将一个大数分解成几个最简单的可除部分。每个部分被称为“因数”。例如，数字6可以被分解为四个不同的数字：1、2、3和6。因此，6的因数有1、2、3、6。
- 32的因数有1、2、4、8、16、32。
- 数字“1”和你分解的数字本身必定是因数。因此，像3这样的小数字的因数只有1和3。
- 因数只包括可以整除的数字，即“整数”。你可以用3.564或21.4952去除32，但它们不构成32的因数，仅仅是一个小数。
2将二项式的各项放到合适位置，使之便于一目了然。 二项式是两个数字在做加法或减法，其中至少一个数字含有一个变量。有时，变量会有指数，如
x 或
5y 。分解二项式时，你可以先按变量升序来重新排列方程式，即将指数最大的项放到最后。例如：
3t + 6 →
6 + 3t
3x + 9x →
9x + 3x
x - 2 →
-2 + x
- 注意，2前面的负号在重新排序后得到了保留。如果项是减数，重新排序时请保留前面的负号。
3找到两项的最大公因数。 这意味着你要找到能同时整除二项式两项的最大数字。如果觉得很难，只要分别将两个数字因数分解，然后找到最大的匹配数字即可。例如：
练习题：
3t + 6 。
- 3的因数：1，3
- 6的因数：1, 2, 3, 6。
最大公因数为3。
4两项分别除以最大公因数。 知道公因数后，你需要将它从各项中约去。但是请注意，你要做的只是将各项分解，对它们做简单的除法。如果你找到的最大公因数是正确的，那么两项都会有这个因数：
练习题：
3t + 6 。
求最大公因数： 3
从两项中约去因数：
3t/3 + 6/3 = t + 2
5最后，用因数乘以所得表达式。 在上一道练习题中，你约去3之后，得到
t + 2 。但是，约去3只是为了简化问题，并不是说问题与3不再有任何关系。你不能让一个数字凭空消失，它必须重新出现在表达式中！最后，用因数乘以表达式。例如：
练习题：
3t + 6
求最大公因数： 3
从两项中约去因数：
3t/3 + 6/3 = t + 2
用因数乘以新表达式：
3(t + 2)
因式分解后的最终答案：3(t + 2)
6用因数乘以括号内的各项，看结果是否等于初始方程式。 如果每一步都正确，那么检查结果是否正确就很简单了。用因数乘以括号内的各项即可。如果所得结果与初始的未分解二项式一样，说明因式分解是正确的。写下分解表达式
12t + 18 的全过程，来练习因式分解：
重新排列两项的顺序：
18 + 12t
找出最大公因数：
6
从两项中约去因数：
18t/6 + 12t/6 = 3 + 2t
用因数乘以新表达式：
6(3 + 2t)
检查答案：
(6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t
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方法2方法2 的 3:分解二项式来解方程
1使用因式分解来简化方程，使之更容易求解。
解含有二项式的方程，尤其是含有复杂二项式的方程时，可能看上去没办法找到所有项的公因数。例如，试着解
{{{1}}}
。对于这类方程，尤其是带指数的方程，一种解法是先做因式分解。
练习题：
5y - 2y = -3y
- 记住，二项式必须只包含两项。如果项数多于二，你就必须用到解多项式的相关知识。
2做加法或减法，让方程式的一边等于零。
这种方法完全依赖于数学中最基本的事实之一：任何数乘以零都等于零。所以，如果方程式等于零，那么因式项之一必定等于零。首先，做加减法让一边等于零。
练习题：
5y - 2y = -3y
使等式等于零：
5y - 2y + 3y = -3y + 3y
8y - 2y = 0
3像平时那样，对方程式不为零的那一边做因式分解。
在这一步中，你可以当方程式的另一边不存在。找到最大公因式，用它去除方程式，得到分解后的表达式。
练习题：
5y - 2y = -3y
使等式等于零：
8y - 2y = 0
因式分解：
2y(4 - y) = 0
4设括号内和括号外的因式等于零。
练习题中，表达式可写为2y乘以4 - y，结果等于零。由于任何数乘以零都等于零，这意味着2y或4-y等于0。生成两个单独的方程，求出使它们等于零的y值。
练习题：
5y - 2y = -3y
使等式等于零：
8y - 2y + 3y = 0
因式分解：
2y(4 - y) = 0
设两个因式等于0：
2y = 0
4 - y = 0
5解这两个等于零的方程，得到最终答案。
答案可能有一个或多个。记住，只要一个因式等于零就能让方程成立，所以同一个方程式的解可能有几个不同的y值。解练习题的最后怎么对二项式进行因式分解的方法：
2y = 0
2y/2 = 0/2
y = 0
4 - y = 0
4 - y + y = 0 + y
y = 4
6将答案代入到原方程式中，看是否正确。
如果你得到的y值是正确的，那么它们应该能使方程成立。如下文所示，验算非常简单，将每个值代入到变量中即可。由于答案是y = 0和y = 4：
5(0) - 2(0) = -3(0)
0 + 0 = 0
0 = 0
所以，这个答案是正确的
5(4) - 2(4) = -3(4)
20 - 32 = -12
-12 = -12
所以，这个答案也是正确的。
方法3方法3 的 3:处理更复杂的问题
1记住，变量，甚至是带指数的变量，都算作因式。
记住，因式分解是找出能够整除方程式的因式。表达式
x
是
x*x*x*x
的另一种写法。这意味着如果其他项也含有x，那么你可以使用x来进行因式分解。你应该将变量视为普通的数字。例如：
- 由于两项都包含t，所以
2t + t
可被因式分解，分解后的答案等于
t(2 + t)
。
- 你甚至可以一次提取多个变量。例如，在
x + x
中，两项都包含相同的
x
。你可以将之分解为
x(1 + x
。
2合并同类项，将未简化的二项式转化为二项式形式。
以表达式
6 + 2x + 14 + 3x
为例，它看上去有四项，但细看后你会发现，实际上只有两项。你可以合并同类项，由于6和14都没有变量，而2x和3x拥有相同的变量，所以它们都可以互相合并。之后的因式分解就很简单了：
初始问题：
6 + 2x + 14 + 3x
重新排列各项：
2x + 3x + 14 + 6
合并同类项：
5x + 20
求最大公因数：
5(x) + 5(4)
因式分解：
5(x+4)
3识别特殊的“完全平方差”。
完全平方数指的是平方根是一个整数的数字，例如
9
等于
3 * 3
，
x
等于
x * x
，甚至
144t
也是完全平方数，因为它等于
12t * 12t
。如果二项式是两个完全平方数（式）的减法问题，如
a - b
，那么你只需要将它们代入到以下公式即可：
完全平方差公式：
a - b = (a + b)(a - b)
练习题：
4x - 9
求平方根
√4x = 2x
√9 = 3
将平方代入到公式中： 4x - 9 = (2x + 3)(2x - 3)
4学会分解“完全立方差公式”。
和完全平方一样，两个立方项相减时，也有一个简单的公式。例如，
a - b
。和之前一样，你只用求出各项的立方根，然后将它们代入到公式中即可：
完全立方差公式：
a - b = (a - b)(a + ab + b)
练习题：
8x - 27
求立方根：
∛8x = 2x
∛27 = 3
将立方代入到公式中： 8x - 27 = (2x - 3)(4x + 6x + 9)
5知道完美立方和也有一个公式。
和完美平方差不同，你可以用一个简单的公式，轻松地分解
a + b
这样的立方和表达式。它和立方差公式几乎相同，只是加减号略有区别。这个公式写出来和其他两个公式一样简单，你需要认出题目中的两个立方项，然后套用公式就可以了：
完全立方和公式：
a + b = (a + b)(a - ab + b)
练习题：
8x - 27
求立方根：
∛8x = 2x
∛27 = 3
将立方代入到公式中： 8x - 27 = (2x + 3)(4x - 6x + 9)
注意事项
1使用因式分解来简化方程，使之更容易求解。 解含有二项式的方程，尤其是含有复杂二项式的方程时，可能看上去没办法找到所有项的公因数。例如，试着解
{{{1}}} 。对于这类方程，尤其是带指数的方程，一种解法是先做因式分解。
练习题：
5y - 2y = -3y
2做加法或减法，让方程式的一边等于零。 这种方法完全依赖于数学中最基本的事实之一：任何数乘以零都等于零。所以，如果方程式等于零，那么因式项之一必定等于零。首先，做加减法让一边等于零。
练习题：
5y - 2y = -3y
使等式等于零：
5y - 2y + 3y = -3y + 3y
8y - 2y = 0
8y - 2y = 0
3像平时那样，对方程式不为零的那一边做因式分解。 在这一步中，你可以当方程式的另一边不存在。找到最大公因式，用它去除方程式，得到分解后的表达式。
练习题：
5y - 2y = -3y
使等式等于零：
8y - 2y = 0
因式分解：
2y(4 - y) = 0
4设括号内和括号外的因式等于零。 练习题中，表达式可写为2y乘以4 - y，结果等于零。由于任何数乘以零都等于零，这意味着2y或4-y等于0。生成两个单独的方程，求出使它们等于零的y值。
练习题：
5y - 2y = -3y
使等式等于零：
8y - 2y + 3y = 0
因式分解：
2y(4 - y) = 0
设两个因式等于0：
2y = 0
4 - y = 0
2y = 0
4 - y = 0
5解这两个等于零的方程，得到最终答案。 答案可能有一个或多个。记住，只要一个因式等于零就能让方程成立，所以同一个方程式的解可能有几个不同的y值。解练习题的最后怎么对二项式进行因式分解的方法：
2y = 0
2y/2 = 0/2
y = 0
2y/2 = 0/2
y = 0
4 - y = 0
4 - y + y = 0 + y
y = 4
6将答案代入到原方程式中，看是否正确。 如果你得到的y值是正确的，那么它们应该能使方程成立。如下文所示，验算非常简单，将每个值代入到变量中即可。由于答案是y = 0和y = 4：
5(0) - 2(0) = -3(0)
0 + 0 = 0
0 = 0
所以，这个答案是正确的
0 + 0 = 0
0 = 0 所以，这个答案是正确的
5(4) - 2(4) = -3(4)
20 - 32 = -12
-12 = -12 所以，这个答案也是正确的。
1记住，变量，甚至是带指数的变量，都算作因式。 记住，因式分解是找出能够整除方程式的因式。表达式
x 是
x*x*x*x 的另一种写法。这意味着如果其他项也含有x，那么你可以使用x来进行因式分解。你应该将变量视为普通的数字。例如：
- 由于两项都包含t，所以
2t + t 可被因式分解，分解后的答案等于
t(2 + t) 。
- 你甚至可以一次提取多个变量。例如，在
x + x 中，两项都包含相同的
x 。你可以将之分解为
x(1 + x 。
2合并同类项，将未简化的二项式转化为二项式形式。 以表达式
6 + 2x + 14 + 3x 为例，它看上去有四项，但细看后你会发现，实际上只有两项。你可以合并同类项，由于6和14都没有变量，而2x和3x拥有相同的变量，所以它们都可以互相合并。之后的因式分解就很简单了：
初始问题：
6 + 2x + 14 + 3x
重新排列各项：
2x + 3x + 14 + 6
合并同类项：
5x + 20
求最大公因数：
5(x) + 5(4)
因式分解：
5(x+4)
3识别特殊的“完全平方差”。 完全平方数指的是平方根是一个整数的数字，例如
9 等于
3 * 3 ，
x 等于
x * x ，甚至
144t 也是完全平方数，因为它等于
12t * 12t 。如果二项式是两个完全平方数（式）的减法问题，如
a - b ，那么你只需要将它们代入到以下公式即可：
完全平方差公式：
a - b = (a + b)(a - b)
练习题：
4x - 9
求平方根
√4x = 2x
√9 = 3
将平方代入到公式中： 4x - 9 = (2x + 3)(2x - 3)
4学会分解“完全立方差公式”。 和完全平方一样，两个立方项相减时，也有一个简单的公式。例如，
a - b 。和之前一样，你只用求出各项的立方根，然后将它们代入到公式中即可：
完全立方差公式：
a - b = (a - b)(a + ab + b)
练习题：
8x - 27
求立方根：
∛8x = 2x
∛27 = 3
将立方代入到公式中： 8x - 27 = (2x - 3)(4x + 6x + 9)
5知道完美立方和也有一个公式。 和完美平方差不同，你可以用一个简单的公式，轻松地分解
a + b 这样的立方和表达式。它和立方差公式几乎相同，只是加减号略有区别。这个公式写出来和其他两个公式一样简单，你需要认出题目中的两个立方项，然后套用公式就可以了：
完全立方和公式：
a + b = (a + b)(a - ab + b)
练习题：
8x - 27
求立方根：
∛8x = 2x
∛27 = 3
将立方代入到公式中： 8x - 27 = (2x + 3)(4x - 6x + 9)
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