怎么找出两个整数的最大公因数

两个数的最大公约数，也叫最大公因数，或最高公因数，是最大的能整除两个整数的数，比如20和16最大公因数是4（20和16都有更大的因数，但不是公因数了，比如8是16的因数，却不是20的因数）。学校中很多老师教的是“猜后验证”法找最大公因数，但是其实有更简单更系统的方法来准确找到最大公因数。本方法叫“欧几里德算法”。设两数为'a'、 'b'

方法1使用除数算法

1. 

   1去掉负号。

2. 

   2了解相关词汇（32除以5）：

3. • 32 是被除数
   • 5 是除数
   • 6 是商
   • 2 是余数（模数）
4. 

   3找两个数较大的一个，作为被除数。

   小的数作为除数。
5. 

   4写出公式 :

   (被除数) = (除数) * (商) + (余数)
6. 

   5大的数作为被除数，小的作为除数。

7. 

   6得出商。

8. 

   7得出余数，写入公式。

9. 

   8再写出公式，不过用上面的除数代替这里的被除数，上面的余数作为除数。

10. 

    9一直重复怎么找出两个整数的最大公因数的方法直到余数为零。

11. 

    10最后一个除数，就是最大公因数了。

12. 

    11这个例子中我们找出108和30的最大公因数:

13. 

    12注意第一行30和18在第二行的位置，然后除数变被除数，余数变除数，以此类推。

    其中每一行的商都和其他的商意义不同，只隶属于这一行，对其他行没用。

方法2利用素因数

1. 

   1去掉负号。

2. 

   2分别找出两数的素因子分解，列出来。

3. 24和18为例：
   • 24- 2 x 2 x 2 x 3
   • 18- 2 x 3 x 3
   • 50和35为例：
   • 50- 2 x 5 x 5
   • 35- 5 x 7
4. 

   3找出共同素因子

5. 24、18为例
   • 24-

     2

     x 2 x 2 x

     3

   • 18-

     2

     x

     3

     x 3
   • 50和35为例
   • 50- 2 x

     5

     x 5
   • 35-

     5

     x 7
6. 

   4素因子相乘，得出最大公因数。

7. 24和18的例子中，2乘以3得到6，即最大公因数。
8. 50和35例子中，5是唯一的共同素因子，即最大公因数。
9. 

   5完成。

注意事项

另一种方式来写，就是被除数mod除数= 余数。余数为0则GCD（最大公因数）(a,b) = b， 其他情况下GCD(a,b) = GCD(b, a mod b)

比如找GCD(-77,91)。 先用77 替换 -77，GCD(-77,91) 变为 GCD(77,91) 。 77 小于91，因此换个位置。看看是否能用公式来算。下面因为77 mod 91得到77 (因为 77 = 91 x 0 + 77) ，我们要的不是0作为最大公因数，因此(a, b) 转换为 (b, a mod b)得到: GCD(77,91) = GCD(91,77)。 91 mod 77 得到 14 (这意味着14 是余数) ，因为不是0，就把GCD(91,77) 替换为GCD(77,14) 。 77 mod 14 得到7 也不是0，再把GCD(77,14) 换成 GCD(14,7)。 14 mod 7 得到0。因为 14 = 7 * 2 无余数，最大公因数: GCD(-77,91) = 7

若 'a' 、 'b' 都是0，则任何非零数都是他们的公因数，所以没有最大公因数。数学家一般就说最大公因数是0，这个就是本例中方法得到的。

可以用这种方法很有效地化简分数。比如上述例子，-77/91 化简为 -11/13 因为7是-77 、91的最大公因数。

本文转自:www.bimeiz.com/jiaoyu/2949.html