怎么解包含两个变量的代数方程组
时间:2021-12-15 12:02
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“方程组”类的题目会要求你同时解出两个或两个以上的方程。当其中有两个不同的变量时,比如x和y,或a和b,乍一看,你可能会觉得题目很难。幸好,知道方法后,你只需使用基本的代数技巧,再偶尔用一点分数知识,就能解决问题。如果你是一个视觉型的学习者,或者你的老师提出要求,那么你还可以学习为方程式画图。画图对于“了解情况”或检查自己的解题过程非常有用,但是它可能比其他方法慢一点,而且不适用于所有方程组。
方法1方法1 的 3:使用代入法
1把变量分别移到方程的两边。
使用这种“代入”法时,首先你需要使用其中一个方程,“解出x”或任何其他变量。例如,假设题目中的方程为
4x + 2y = 8
和
5x + 3y = 9
。先只看第一个方程。将方程变形,两边都减去2y,得到:
4x = 8 - 2y
。
- 这种方法之后通常会用到分数。如果你不喜欢分数,可以尝试下文介绍的消元法。
2方程两边同时做除法,“解出x”。
当方程的一边出现x项或你使用的其他变量时,两边同时做除法,以得到变量本身。例如:
4x = 8 - 2y
(4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
x = 2 - ½y
3将它代入另一个方程中。
一定要代入一个
方程,而不是你已经用过的方程。代入已经解出的变量后,该方程就只剩下一个变量。例如:
- 已知
x = 2 - ½y
。
- 还没有做任何改变的第二个方程是
5x + 3y = 9
。
- 在第二个方程中,用”2 - ½y”代替x:
5(2 - ½y) + 3y = 9
。
4解剩下的变量。
现在,你得到一个只有单个变量的方程。使用普通的代数方法,解出这个变量。
如果变量抵消,就跳到最后一步。
在其他情况下,你会得到一个变量的解:
5(2 - ½y) + 3y = 9
10 – (5/2)y + 3y = 9
10 – (5/2)y + (6/2)y = 9
,如果你不理解这一步的计算过程,可以去学习分数加法。这种方法经常会用到这部分知识,但并非总是如此。
10 + ½y = 9
½y = -1
y = -2
5使用答案去解另一个变量。
不要犯解题只解一半的错误。你需要把得到的答案代入一个原始方程中,以解出另一个变量:
- 已知
y = -2
- 其中一个原始方程为
4x + 2y = 8
。这一步可以使用两个方程中的任意一个。
- 用-2代替y:
4x + 2(-2) = 8
。
4x - 4 = 8
4x = 12
x = 3
6知道两个变量都抵消时应该怎么做。
将
x=3y+2
或类似的答案代入另一个方程时,你想得到一个只有单个变量的方程。但是有时,你会得到一个没有
变量的方程。仔细检查自己的解题过程,确保你把变形后的方程一代入到方程二中,而不是又代回到方程一。如果你确信自己没有犯任何错误,那么你的结果应该属于以下情况中的一种:
- 如果你得到的方程没有变量或等式不成立,例如3 = 5,则问题
无解
。如果画出两个方程的图形,你会发现它们彼此平行,永不相交。
- 如果你得到一个等式成立
的无变量方程,比如3 = 3,则问题有
无穷多解
。方程组里的两个方程是完全相等的。如果画出它们的图形,你会发现它们是同一条直线。
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方法2方法2 的 3:使用消元法
1找到可以抵消的变量。
有时,将两个方程相加,会恰好有一个变量可以’’抵消’’。例如,将方程
3x + 2y = 11
和
5x - 2y = 13
相加时,“+2y”和“-2y”会互相抵消,消去方程中的所有’’y’’项。观察题目中的方程,看看是否有一个变量可以像这样抵消掉。如果没有,你可以参照下一步的建议。
2对一个方程做乘法,使得一个变量可以抵消。
如果变量已经抵消,则跳过此怎么解包含两个变量的代数方程组的方法。如果两个方程中没有可以自然抵消的变量,你可以变形其中一个方程,使变量能够抵消。为了便于理解,我们来举例说明:
- 你有一个方程组:
3x - y = 3
和
-x + 2y = 4
。
- 首先,变形第一个方程,让变量
y
能够抵消。你也可以选择
x
,最后得到的答案是一样的。
- 第一个方程中的
- y
必须和第二个方程中的
+ 2y
抵消。你可以用2乘以
- y
,来达到这一目的。
- 用第一个方程的两边同时乘以2,
2(3x - y)=2(3)
,得到
6x - 2y = 6
。这样一来,
- 2y
会与第二个方程中的
+2y
抵消。
3把两个方程相加。
两个方程相加时,用左边和左边相加,右边和右边相加。如果你使用正确的方式变形方程,其中一个变量应该会抵消。仍然以上一步中的方程组为例:
- 两个方程为
6x - 2y = 6
和
-x + 2y = 4
。
- 左侧相加得到:
6x - 2y - x + 2y = ?
- 右侧相加得到:
6x - 2y - x + 2y = 6 + 4
。
4解最后的变量。
简化相加得到的方程,然后用基础的代数方法解最后的变量。
如果简化后方程没有变量,你可以直接跳到本节的最后一步。
在其他情况下,你应该可以得到其中一个变量的简单解。例如:
- 你得到
6x - 2y - x + 2y = 6 + 4
。
- 将
x
变量和
y
变量分类排序:
6x - x - 2y + 2y = 6 + 4
。
- 简化得到:
5x = 10
- 解x:
(5x)/5 = 10/5
,所以
x = 2
。
5解另一个变量。
你已经求出一个变量,但题目还没有解完。将答案代入其中一个原始方程,解出另一个变量。例如:
- 已知
x = 2
,而其中一个原始方程为
3x - y = 3
。
- 用2代替x:
3(2) - y = 3
- 解方程中的y:
6 - y = 3
6 - y + y = 3 + y
,所以
6 = 3 + y
3 = y
6知道两个变量都抵消时应该怎么做。
有时,两个方程相加会得到一个毫无意义,或至少对你解题毫无帮助的方程。从头开始,仔细检查自己的解题过程,但是,如果你确信自己没有犯错,可以按照以下情况中的一种,写下答案:
- 如果相加后的方程没有变量,而且等式不成立,比如2 = 7,则方程组
无解
。如果画出两个方程的图形,你会发现它们彼此平行,永不相交。
- 如果相加后的方程没有变量,而且等式成立,则方程组有
无穷多解
。两个方程实际上是一样的。如果画出它们的图形,你会发现它们是同一条直线。
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方法3方法3 的 3:画出方程的图形
1只在有要求时使用这种方法。
除非使用计算机或图形计算器,否则用这种方法解方程组,很多时候只能得到近似的答案。老师或数学教科书可能会要求你使用这种方法,让你熟悉如何将方程画成直线。你也可以用这种方法来检查其他方法解出的答案。
- 该方法的基本思路是画出两个方程的图形,并找到它们的交点。这个点的x值和y值就是方程组的x值和y值。
2解出两个方程的y。
让两个方程保持独立,使用代数方法,把它们变成”y = __x + __”的形式。例如:
- 第一个方程是
2x + y = 5
。把它变成
y = -2x + 5
。
- 第二个方程是
-3x + 6y = 0
。把它变成
6y = 3x + 0
,然后简化成
y = ½x + 0
。
如果两个方程相同
,则两条直线会完全“重合”。你可以写方程组有
无穷多解
。
3画坐标轴。
在一张坐标纸上画一条垂直的“y轴”和一条水平的“x轴”。从它们的交点开始,沿y轴向上标出1、2、3、4等数字,再沿x轴向右做同样的事情。沿y轴向下、x轴向左标出-1、-2等数字。
- 如果没有坐标纸,你可以使用直尺来保证各数字之间的间距正好相等。
- 如果使用的是较大的数字或小数,你可能需要以不同的方式来调整图形比例。例如,将原本标1、2、3的点标成10、20、30或0.1、0.2、 0.3。
4画出每条线的y轴截距。
将方程变形成
y = __x + __
的形式后,你可以开始画出它的图形,首先画出直线与y轴相交的点。这个点在y轴上的值一定等于该方程最后面的那个数字。
- 在先前的例题中,第一条直线(
y = -2x + 5
)与y轴在
5
这个点相交。另一个方程(
y = ½x + 0
)的直线则在
0
这个点相交。它们对应的是图形中的(0,5)和(0,0)这两个点。
- 如果可以,你应该使用不同颜色的笔来画两条直线。
5使用斜率继续画出直线。
在
y = __x + __
形式的方程中,x前面的数字就是直线的斜率
。x的值每增加1时,y值的增量等于斜率。利用这一规律,在图形中画出x=1时,两条直线上的点。你也可以把x = 1代入两个方程中,求出y的值。
- 在本例题中,直线
y = -2x + 5
的斜率为
-2
。当x = 1时,直线会从x = 0的位置向下
移动2个单位。画出(0,5)和(1,3)之间的线段。
- 直线
y = ½x + 0
的斜率是
½
。当x = 1时,直线会从x = 0的位置向上
移动½个单位。画出(0,0)和(1,½)之间的线段。
如果两条直线有相同的斜率
,那么它们会永不相交,所以方程组无解。你可以写下
无解
二字。
6延长两条直线,直至它们相交。
停下来观察图形。如果两条直线已经相交,则跳到下一步。否则,你应该根据直线的情况作出决定:
- 如果两条直线互相靠拢,那么你应该继续在这个方向上画更多的点。
- 如果两条直线彼此相距越来越远,那么你应该从x = -1开始,朝另一边画更多的点。
- 如果两条直线相距较远,试着往前画出更远的点,比如x = 10那一点。
7在交点找到答案。
两条直线相交后,交点的x值和y值就是题目的答案。在比较幸运的情况下,答案会是整数。例如,本例题中,两条直线在点
(2,1)
相交,所以答案是
x = 2和y = 1
。在某些方程组中,直线相交的值在两个整数之间,这时,除非图形非常精确,否则你很难判断它的具体位置。这种情况下,你可以直接写下答案,比如“x在1到2之间”,或使用代入法或消元法来求出准确的答案。广告
注意事项
1把变量分别移到方程的两边。 使用这种“代入”法时,首先你需要使用其中一个方程,“解出x”或任何其他变量。例如,假设题目中的方程为
4x + 2y = 8 和
5x + 3y = 9 。先只看第一个方程。将方程变形,两边都减去2y,得到:
4x = 8 - 2y 。
2方程两边同时做除法,“解出x”。 当方程的一边出现x项或你使用的其他变量时,两边同时做除法,以得到变量本身。例如:
4x = 8 - 2y
(4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
x = 2 - ½y
3将它代入另一个方程中。 一定要代入一个 方程,而不是你已经用过的方程。代入已经解出的变量后,该方程就只剩下一个变量。例如:
x = 2 - ½y 。
5x + 3y = 9 。
5(2 - ½y) + 3y = 9 。
4解剩下的变量。 现在,你得到一个只有单个变量的方程。使用普通的代数方法,解出这个变量。
如果变量抵消,就跳到最后一步。 在其他情况下,你会得到一个变量的解:
5(2 - ½y) + 3y = 9
10 – (5/2)y + 3y = 9
10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 ,如果你不理解这一步的计算过程,可以去学习分数加法。这种方法经常会用到这部分知识,但并非总是如此。
10 + ½y = 9
½y = -1
y = -2
5使用答案去解另一个变量。 不要犯解题只解一半的错误。你需要把得到的答案代入一个原始方程中,以解出另一个变量:
y = -2
4x + 2y = 8 。这一步可以使用两个方程中的任意一个。
4x + 2(-2) = 8 。
4x - 4 = 8
4x = 12
x = 3
6知道两个变量都抵消时应该怎么做。 将
x=3y+2 或类似的答案代入另一个方程时,你想得到一个只有单个变量的方程。但是有时,你会得到一个没有 变量的方程。仔细检查自己的解题过程,确保你把变形后的方程一代入到方程二中,而不是又代回到方程一。如果你确信自己没有犯任何错误,那么你的结果应该属于以下情况中的一种:
无解 。如果画出两个方程的图形,你会发现它们彼此平行,永不相交。
无穷多解 。方程组里的两个方程是完全相等的。如果画出它们的图形,你会发现它们是同一条直线。
1找到可以抵消的变量。 有时,将两个方程相加,会恰好有一个变量可以’’抵消’’。例如,将方程
3x + 2y = 11 和
5x - 2y = 13 相加时,“+2y”和“-2y”会互相抵消,消去方程中的所有’’y’’项。观察题目中的方程,看看是否有一个变量可以像这样抵消掉。如果没有,你可以参照下一步的建议。
2对一个方程做乘法,使得一个变量可以抵消。 如果变量已经抵消,则跳过此怎么解包含两个变量的代数方程组的方法。如果两个方程中没有可以自然抵消的变量,你可以变形其中一个方程,使变量能够抵消。为了便于理解,我们来举例说明:
- 你有一个方程组:
3x - y = 3 和
-x + 2y = 4 。
- 首先,变形第一个方程,让变量
y 能够抵消。你也可以选择
x ,最后得到的答案是一样的。
- 第一个方程中的
- y 必须和第二个方程中的
+ 2y 抵消。你可以用2乘以
- y ,来达到这一目的。
- 用第一个方程的两边同时乘以2,
2(3x - y)=2(3) ,得到
6x - 2y = 6 。这样一来,
- 2y 会与第二个方程中的
+2y 抵消。
3把两个方程相加。 两个方程相加时,用左边和左边相加,右边和右边相加。如果你使用正确的方式变形方程,其中一个变量应该会抵消。仍然以上一步中的方程组为例:
- 两个方程为
6x - 2y = 6 和
-x + 2y = 4 。
- 左侧相加得到:
6x - 2y - x + 2y = ?
- 右侧相加得到:
6x - 2y - x + 2y = 6 + 4 。
4解最后的变量。 简化相加得到的方程,然后用基础的代数方法解最后的变量。
如果简化后方程没有变量,你可以直接跳到本节的最后一步。 在其他情况下,你应该可以得到其中一个变量的简单解。例如:
- 你得到
6x - 2y - x + 2y = 6 + 4 。
- 将
x 变量和
y 变量分类排序:
6x - x - 2y + 2y = 6 + 4 。
- 简化得到:
5x = 10
- 解x:
(5x)/5 = 10/5 ,所以
x = 2 。
5解另一个变量。 你已经求出一个变量,但题目还没有解完。将答案代入其中一个原始方程,解出另一个变量。例如:
- 已知
x = 2 ,而其中一个原始方程为
3x - y = 3 。
- 用2代替x:
3(2) - y = 3
- 解方程中的y:
6 - y = 3
6 - y + y = 3 + y ,所以
6 = 3 + y
3 = y
6知道两个变量都抵消时应该怎么做。 有时,两个方程相加会得到一个毫无意义,或至少对你解题毫无帮助的方程。从头开始,仔细检查自己的解题过程,但是,如果你确信自己没有犯错,可以按照以下情况中的一种,写下答案:
- 如果相加后的方程没有变量,而且等式不成立,比如2 = 7,则方程组
无解 。如果画出两个方程的图形,你会发现它们彼此平行,永不相交。
- 如果相加后的方程没有变量,而且等式成立,则方程组有
无穷多解 。两个方程实际上是一样的。如果画出它们的图形,你会发现它们是同一条直线。
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