怎么求3X3矩阵的行列式
时间:2021-12-15 12:38
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矩阵的行列式常用于微积分、线性代数和高等几何。求一个矩阵的行列式一开始可能会让人困惑,但只要做过几次后,你就会觉得并不是那么难。
方法1方法1 的 2:求行列式
1写出3×3矩阵。
我们从3x3矩阵A开始,试着找出它的行列式|A|。下面是我们将使用的一般矩阵表示法,以及示例矩阵:
3划掉第一个元素的行和列。
查看圈出的行或列,并选择第一个元素。通过它的行和列画线。剩下四个数字。我们把它看成一个2×2矩阵。
- 在本例中,引用行是1 5 3。第一个元素
在第1行和第1列。划掉第一行和第一列。把剩下的元素写成2×2矩阵
:
1
5 3
2
4 1
4
6 2
4求出2x2矩阵的行列式。
记住,这个矩阵
6确定答案的正负号。
接下来,将答案乘以1或-1来得到所选元素的
代数余子式
。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的位置。记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正,哪个元素是负:
- +
- +
- + -
+ - +
- 由于我们选择了a11
,用a +标记,将结果乘以1。(也就是说,不用管它)。答案还是
-34
。
- 或者,你可以用公式(-1)来计算正负号,其中i
和j
是该元素的行数和列数。
7对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。
返回到初始的3x3矩阵,包含你之前圈出的行或列。对这个元素重复相同的过程:
划掉这个元素所在的行和列。
在本例中,选择元素a12
(值为5)。划掉第一行(1 5 3)和第二列
方法2方法2 的 2:简化问题
1选择0最多的引用行或列。
记住,你可以选择任意
行或列作为引用。不管你选哪一个,结果都是一样的。如果你选择一个带有零的行或列,只需要计算非零元素的代数余子式。原因如下:
- 假设你选择第2行,包含元素a21
、a22
和23
。要解决这个问题,我们要看三个不同的2x2矩阵。我们把它们叫做A21
、A22
和A23
。
- 3x3矩阵的行列式是a21
|A21
| - a22
|A22
| + a23
|A23
|。
- 如果a22
和a23
都为0,公式就变成a21
|A21
| - 0*|A22
| + 0*|A23
| = a21
|A21
| - 0 + 0 = a21
|A21
|。现在我们只需计算一个元素的代数余子式。
2利用行加法使矩阵更简单。
如果你把一行的值加到另一行,矩阵的行列式不变。列也是如此。你可以重复这样操作,或者在加之前将值乘以一个常数,从而使矩阵有尽可能多的0。这样可以节省很多时间。
- 例如,假设你有一个3×3的矩阵:
注意事项
1写出3×3矩阵。 我们从3x3矩阵A开始,试着找出它的行列式|A|。下面是我们将使用的一般矩阵表示法,以及示例矩阵:
3划掉第一个元素的行和列。 查看圈出的行或列,并选择第一个元素。通过它的行和列画线。剩下四个数字。我们把它看成一个2×2矩阵。
4 1
6 2
4求出2x2矩阵的行列式。 记住,这个矩阵
6确定答案的正负号。 接下来,将答案乘以1或-1来得到所选元素的
代数余子式 。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的位置。记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正,哪个元素是负:
- + -
+ - +
-34
。7对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。 返回到初始的3x3矩阵,包含你之前圈出的行或列。对这个元素重复相同的过程:
划掉这个元素所在的行和列。 在本例中,选择元素a12 (值为5)。划掉第一行(1 5 3)和第二列
1选择0最多的引用行或列。 记住,你可以选择任意 行或列作为引用。不管你选哪一个,结果都是一样的。如果你选择一个带有零的行或列,只需要计算非零元素的代数余子式。原因如下:
- 假设你选择第2行,包含元素a21 、a22 和23 。要解决这个问题,我们要看三个不同的2x2矩阵。我们把它们叫做A21 、A22 和A23 。
- 3x3矩阵的行列式是a21 |A21 | - a22 |A22 | + a23 |A23 |。
- 如果a22 和a23 都为0,公式就变成a21 |A21 | - 0*|A22 | + 0*|A23 | = a21 |A21 | - 0 + 0 = a21 |A21 |。现在我们只需计算一个元素的代数余子式。
2利用行加法使矩阵更简单。 如果你把一行的值加到另一行,矩阵的行列式不变。列也是如此。你可以重复这样操作,或者在加之前将值乘以一个常数,从而使矩阵有尽可能多的0。这样可以节省很多时间。
- 例如,假设你有一个3×3的矩阵: